复变函数知识点总结复变函数知识点总结精选八篇

第一章：复数与复变函数

这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。

一、 复数及其表示法

介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。

二、 复数的运算

高中知识，加减乘除，乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。

三、 复数形式的代数方程和平面几何图形

就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。

四、 复数域的几何模型――复球面

将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。

五、 复变函数

不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。

六、 复变函数的极限和连续性

与实变函数的极限、连续性相同。

第二章：解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。

一、解析函数的概念

介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。

所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是：μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。

二、解析函数和调和函数的关系

出现了新的概念：调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。

三、初等函数

和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。

第三章：复变函数的积分

这一章，主要是将实变函数的积分问题，在复变函数这个体系里进行了系统的转化，让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。

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