相似矩阵的性质

相似 A A A， B B B 是两个 n n n 阶方阵，如果可存在 n n n 阶可逆矩阵 P P P，使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B则 A A A 和 B B B 相似，即 A ∼ B A sim B A∼B。

注：矩阵之间有三大关系：矩阵等价( A A A 经过初等变换可以得到 B B B)；矩阵相似；矩阵合同。

相似的性质

反身性 A ∼ A A sim A A∼A， P = E P=E P=E。对称性 A ∼ B = > B ∼ A A sim B =>B sim A A∼B=>B∼A。若 A ∼ B , B ∼ C = > A ∼ C A sim B,B sim C =>A sim C A∼B,B∼C=>A∼C

相似矩阵的性质

性质1 若 A A A, B B B 相似，则 A A A 和 B B B 有相同的特征值， A A A 和 B B B 的行列式( ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣)也相等， A A A 和 B B B 的秩相同，且迹( t r ( A ) = t r ( B ) tr(A)=tr(B) tr(A)=tr(B))也相等。但特征值相同并不一定相似。

性质2 A ∼ B A sim B A∼B， A A A 可逆 B B B 可逆，且 A − 1 ∼ B − 1 A^{-1} sim B^{-1} A−1∼B−1。若 A ∼ B A sim B A∼B，则 A A A 和 B B B 同时可逆或同时不可逆。

性质3 A ∼ B A sim B A∼B，则 A m ∼ B m A^m sim B^m Am∼Bm。